Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.
Тема: «Первообразная и интеграл»
Тип: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма: игра
Цели:
дидактические:
· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.
развивающие:
· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.
воспитательные:
· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.
Средства обучения:
Технические : ПК, проектор, экран.
Ход урока
Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.
Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)
Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».
Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.
Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.
Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)
Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.
Девиз урока : Не стыдно не знать, стыдно не учиться.
Цели урока:
- Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
- Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
- Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.
План конспект урока.
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний учащихся.
1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:
1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.
3. В чем заключается признак постоянства функции?
4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?
5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.
6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?
7. В чем заключается основное свойство первообразной?
8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.
9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их
Первообразных»?
10. Что называется неопределенным интегралом?
11.Что называется определенным интегралом?
12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.
Ответы
1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.
4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.
7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде
F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –
Произвольная постоянная.
9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.
10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).
11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x ) на промежутке [ a ; b ] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [ a ; b ] .
12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.
Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)
Величины
Вычисление производной
Вычисление интеграла
s – перемещение,
А – ускорение
A(t) =
A - работа,
F – сила,
N - мощность
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
m – масса тонкого стержня,
Линейная плотность
(x) = m"(x)
q – электрический заряд,
I –сила тока
I(t) = q(t)
Q – количество теплоты
С - теплоемкость
c(t) = Q"(t)
Правила вычисления первообразных
- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.
Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).
^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.
5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке функций и таких, что для всех x вычисляется по формуле
6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:
Найдите неопределенный интеграл: (устно)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III Решение заданий с классом
1. Вычислите определенный интеграл: (в тетрадях, один учащийся на доске)
Задачи по рисункам с решениями:
№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.
Решение.
-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0
№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,
Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.
№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cos п/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2
Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.
3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур (самостоятельная работа в парах)
Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры
Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры
III Итоги урока.
а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?
Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?
Полезен ли был для вас урок?
б) анализ работы учащихся
в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)
Тип урока: обобщающий.
Задачи:
Обучающие
: систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие
: способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие
: побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Ход урока
І. Организационный момент
Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)
ІІ. Повторение
Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.
III. Проверка домашнего задания
Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.
IV. Аукцион задач
1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.
2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.
3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h
4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х
5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2
V. Самостоятельная работа
К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.
Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.
Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:
VI. Математическая эстафета
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.
VІI. Из истории
Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.
VІІІ. Рефлексия
Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Активизировать мыслительную деятельность;
Способствовать усвоению способов исследова-
Обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
ввести понятие первообразной;
доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
ввести определение неопределенного интеграла;
доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
повторить правила и формулы дифференцирования
понятие дифференциала.
ХОД УРОКА
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-
цирования).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t
- 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-
мени, найти закон его движения.
Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-
бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства?
(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x) ее производную.
Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?
Вывод учащихся:
Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. (кратко символически записывается
на доске).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции задан-
ной на том же промежутке, если для всех x 
X
выполняется равенство
F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция
x является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной, выполните упражнение
№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-
ной для функции f, если
1) F (x) = 
2 cos 2x , f (x) = x
- 4 sin 2x .
2) F (x) = tg
х - cos 5x , f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F (x) = x
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-
руя свои действия.
Является ли функция х единственной первообразной
для функции 2х?
Учащиеся приводят примеры
х + 3 ; х - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся:
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F + C также
является первообразной для f . Иных первообразных
функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F (x) = f (x) для всех х Х.
Тогда для х Х для любого С имеем:
(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х.
б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f
не имеет.
Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-
ных для данной функции?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб- + 
.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
= A .
= 
= 
+ С.
Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.
Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3).
Вычислите интегралы.
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
2 часа.
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Активизировать мыслительную деятельность;
Способствовать усвоению способов исследова-
- обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
ввести понятие первообразной;
доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
ввести определение неопределенного интеграла;
доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
повторить правила и формулы дифференцирования
понятие дифференциала.
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-
цирования).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
- V(t) = S(t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t
- 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
- I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-
мени, найти закон его движения.
Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства?
(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x) ее производную.
F (x) = f (x).
Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?
Вывод учащихся:
Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
f (x) = F(x) .
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. (кратко символически записывается
на доске).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции задан-
ной на том же промежутке, если для всех x 
X
выполняется равенство
F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция
x является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной, выполните упражнение
№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-
ной для функции f, если
1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x
- 4 sin 2x .
2) F (x) = tg
х - cos 5x , f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F (x) = x
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-
руя свои действия.
Является ли функция х единственной первообразной
для функции 2х?
Учащиеся приводят примеры
х + 3 ; х - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся:
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F + C также
является первообразной для f . Иных первообразных
функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F (x) = f (x) для всех х Х.
Тогда для х Х для любого С имеем:
(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х.
б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f
не имеет.
Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-
ных для данной функции?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб-
разная найдена, то любая другая получается из нее
прибавлением постоянной.
Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции.
Обозначение. 
; 
- читается интеграл.
= F (x) + C, где F – одна из первообразных
для f , С пробегает множество
действительных чисел.
f - подынтегральная функция;
f (x)dx - подынтегральное выражение;
х - переменная интегрирования;
С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски
