Прямая призма. Прямая призма — Гипермаркет знаний

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры, которые не лежат в одной плоскости. Одним из объектов изучения стереометрии являются призмы. В статье дадим определение призме с геометрической точки зрения, а также кратко перечислим свойства, которые для нее характерны.

Геометрическая фигура

Определение призмы в геометрии звучит следующим образом: это пространственная фигура, состоящая из двух одинаковых n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, соединенных друг с другом своими вершинами.

Получить призму не представляет никакого труда. Представим, что есть два одинаковых n-угольника, где n - это число сторон или вершин. Поместим их так, чтобы они были друг другу параллельны. После этого вершины одного многоугольника следует соединить с соответствующими вершинами другого. Образованная фигура будет состоять из двух n-угольных сторон, которые называются основаниями, и n четырехугольных сторон, представляющих собой в общем случае параллелограммы. Совокупность параллелограммов образует боковую поверхность фигуры.

Существует еще один способ геометрического получения рассматриваемой фигуры. Так, если взять n-угольник и совершить его перенос в другую плоскость при помощи параллельных отрезков равной длины, то в новой плоскости мы получим исходный многоугольник. Оба многоугольника и все параллельные отрезки, проведенные из их вершин, образуют призму.

Рисунок выше демонстрирует Так она называется потому, что ее основания представляют собой треугольники.

Элементы, из которых состоит фигура

Выше было дано определение призмы, из которого понятно, что главными элементами фигуры являются ее грани или стороны, ограничивающие все внутренние точки призмы от внешнего пространства. Любая грань рассматриваемой фигуры принадлежит к одному из двух типов:

боковая;
основания.

Боковых n штук, и они являются параллелограммами или их частными видами (прямоугольниками, квадратами). В общем случае боковые грани отличаются друг от друга. Граней основания всего две, они представляют собой n-угольники и друг другу равны. Таким образом, всякая призма имеет n+2 стороны.

Помимо сторон, фигура характеризуется своими вершинами. Они представляют собой точки, где соприкасаются одновременно три грани. Причем две из трех граней всегда принадлежат боковой поверхности, а одна - основанию. Таким образом, в призме нет специально выделенной одной вершины, как, например, в пирамиде, все они являются равноправными. Число вершин фигуры равно 2*n (по n штук для каждого основания).

Наконец, третьим важным элементом призмы являются ее ребра. Это отрезки определенной длины, которые образуются в результате пересечения сторон фигуры. Как и грани, ребра также имеют два разных типа:

либо образованы только боковыми сторонами;
либо возникают на стыке параллелограмма и стороны n-угольного основания.

Число ребер, таким образом, равно 3*n, причем 2*n из них относятся ко второму из названных типов.

Виды призм

Выделяют несколько способов классификации призм. Однако все они основаны на двух особенностях фигуры:

на типе n-угольного основания;
на типе боковой стороны.

Для начала обратимся ко второй особенности и дадим определение и прямой. Если хотя бы одна боковая сторона является параллелограммом общего типа, то фигура называется наклонной, или косоугольной. Если же все параллелограммы представляют собой прямоугольники или квадраты, то призма будет прямой.

Дать определение можно также несколько иначе: прямая фигура - это та призма, у которой боковые ребра и грани перпендикулярны ее основаниям. На рисунке показаны две четырехугольные фигуры. Левая является прямой, правая - наклонной.

Теперь перейдем к классификации согласно типу n-угольника, лежащего в основаниях. Он может иметь одинаковые стороны и углы или разные. В первом случае многоугольник называется правильным. Если рассматриваемая фигура содержит в основании многоугольник с равными сторонами и углами и является прямой, то она называется правильной. Согласно этому определению, правильная призма в основании может иметь равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник или шестиугольник и так далее. Перечисленные правильные фигуры представлены на рисунке.

Линейные параметры призм

Для описания размеров рассматриваемых фигур используют следующие параметры:

высота;
стороны основания;
длины боковых ребер;
объемные диагонали;
диагонали боковых сторон и оснований.

Для правильных призм все названные величины связаны друг с другом. Например, длины боковых ребер одинаковы и равны высоте. Для конкретной n-угольной правильной фигуры существуют формулы, позволяющие по двум любым линейным параметрам определить все остальные.

Поверхность фигуры

Если обратиться к данному выше определению призмы, то понять, что представляет поверхность фигуры, будет несложно. Поверхность - это площадь всех граней. Для прямой призмы она вычисляется по формуле:

S = 2*S o + P o *h

где S o - площадь основания, P o - периметр n-угольника в основании, h - высота (расстояние между основаниями).

Объем фигуры

Наряду с поверхностью для практики важно знать объем призмы. Определить его можно по следующей формуле:

Это выражение справедливо для абсолютно любого вида призм, включая те, которые являются наклонными и образованы неправильными многоугольниками.

Для правильных является функцией длины стороны основания и высоты фигуры. Для соответствующей n-угольной призмы формула для V имеет конкретный вид.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Определение 1. Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой. Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями. Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания.

3 слайд

Описание слайда:

Все призмы делятся на прямые и наклонные. (рис. 2) Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

4 слайд

Описание слайда:

Свойства призмы. 1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3. Боковые ребра призмы равны.

5 слайд

Описание слайда:

Площадь поверхности призмы и площадь боковой поверхности призмы. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (Sпр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников: Sпов=Sбок+2Sосн. Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.

6 слайд

Описание слайда:

Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых-стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Sбок поверхности призмы равна сумме S указанных треугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. периметр P. Итак, Sбок =Ph. Теорема доказана. Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты. Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота.

7 слайд

Описание слайда:

Сечение призмы 1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

8 слайд

Описание слайда:

9 слайд

Описание слайда:

Определение 2. Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой. Свойства правильной призмы 1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны.

10 слайд

Описание слайда:

Сечение правильной призмы. 1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. 2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.

11 слайд

Описание слайда:

Симметрия правильной призмы 1. Центр симметрии при четном числе сторон основания - точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 6)

Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы

Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми .
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы , концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы , а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра. Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Правильной называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.

Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^ - периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.

V = SH
S п = S б + 2S о
S б = P ^ l

Определение 1 . Призматической поверхностью называется фигура, образованная частями нескольких плоскостей, параллельных одной прямой ограниченными теми прямыми, по которым эти плоскости последовательно пересекаются одна с другой*; эти прямые параллельны между собой и называются рёбрами призматической поверхности .
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую

Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.

Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.

Определение 3 . Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы ; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями ; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы . В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники . Все боковые грани призмы - параллелограммы ; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".

Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").

Определение 5 . Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности. В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро ; боковые грани будут прямоугольниками .
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.

Теорема 2 . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.

Общие сведения о прямой призме

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.

Практическое задание

Задача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

Обобщение пройденной темы

А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.

Свойства призмы

Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;

Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.

Какая призма называется прямой?

Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.

Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Какую призму называют наклонной?

А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.

Какую призму называют правильной?

Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.

Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.

Свойства правильной призмы

Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.

Сечение призмы

А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:

Домашнее задание

А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.

Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.

А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.