Методическая разработка урока алгебры по теме: «Первообразная и интеграл»
Тема: «Первообразная и интеграл».
Группа: 82 (14-ТТО II -118)
Специальность: Технология продукции общественного питания.
Тип: урок обобщения и систематизации знаний .
Форма: И гра.
Цели:
д идактические:
формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.
развивающие:
формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.
воспитательные:
формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.
Средства обучения:
Технические: ПК, проектор, экран.
Ход урока
Подготовительный этап: группа заранее делится на две команды.
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Ц ель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме «Первообразная и и нтеграл», подготовиться к предстоящему зачету.
Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору.
Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».
Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.
Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.
II . Проверка домашнего задания: «Проверим рюкзаки».
Перед дальней дорогой нужно проверить насколько хорошо вы подготовились к восхождению. Проверим домашнее задание, которое было задано на предыдущем уроке:
Найти площадь фигуры ограниченной линиями:
, 
Два человека по очереди выходят к доске кратко объясняют решение, которое они заранее заготовили на слайдах. Остальные в это время проверяют.
III . Разминка.
Принято, что человек, готовясь к соревнованию, свой день обычно начинает с зарядки, то есть с разминки.
Проведем разминку и мы.
Предлагается 9 тестовых заданий. Каждая команда по очереди выбирает вопрос, за правильные ответы получают жетоны (слайд)
Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…
интегрированием;
дифференцированием;
логарифмированием;
возведением в степень;
извлечением корня.
Закончите определение:
Неопределённым интегралом от функции y = f (x ) называется:
производная функции F (x );
совокупность всех первообразных функции y = f (x );
совокупность всех производных функции y = f (x );
знак вида .
Формула Ньютона-Лейбница:
Закончите определение:
«Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…»
I V . Математическая эстафета.
Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания. Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 8 заданиями. Те же задания представлены на слайде. Вы можете решить не только свои задания, что проверить правильность решения членов своей команды.
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания. Проверка работ осуществляется с помощью слайда. Заработанные баллы суммируются.
А теперь привал.
V . Привал.
«Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» (Луи Пастер) (слайд).
Зачитываются сведения из истории интегрального исчисления (слайд).
Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный.
Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся
Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками.
XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.
В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке.
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и
А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.).
VI. Самое трудное восхождение.
Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому учащиеся работают в тетрадях.
Задача. Сколькими способами можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями (слайд).
, , ,
У кого есть предложения? (фигура состоит из двух криволинейных трапеций и прямоугольника) (выбирайте способ решения слайд).
После обсуждения данной проблемы на слайде появляется запись:
1 способ: S =S 1 +S 2 +S 3
2 способ: S =S 1 +S ABCD -S OCD
Двое учащихся решают у доски с последующим объяснением решения, остальные учащиеся работают в тетрадях, выбрав один из способов решения (по одному человеку от команды).
Вывод (делают учащиеся): мы нашли два способа решения данной задачи, получив один и тот же результат. Обсудить какой способ проще.
VII . Последний подъем. Кроссворд (слайд)
Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся все легче и легче.
Последний подъем. На слайде кроссворд. Ваша задача – решить его. По очереди каждая команда отгадывает понравившееся слово, записывает ответ.
VШ. Итог урока (слайд).
Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.
Тема: «Первообразная и интеграл»
Тип: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма: игра
Цели:
дидактические:
· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.
развивающие:
· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.
воспитательные:
· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.
Средства обучения:
Технические : ПК, проектор, экран.
Ход урока
Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.
Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)
Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».
Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.
Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.
Урок алгебры в 12 классе.
Тема урока: «Первообразная. Интеграл»
Цели:
образовательные
Обобщить и закрепить материал по данной теме: определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
Развивающие
выполнять задания повышенной сложности, развивать обще учебные навыки и учить мыслить и выполнять контроль и самоконтроль
Воспитывающие
Воспитывать, положительное отношение к учебе, к математике
Тип урока: Обобщение и систематизация знаний
Формы работы: групповая, индивидуальная, дифференцированная
Оборудование: карточки для самостоятельной работы, для дифференцированной работы, лист самоконтроля, проектор.
Ход урока
Организационный момент
Цели и задачи урока: Обобщить и закрепить материал по теме «Первообразная. Интеграл» - определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
Урок проведем в форме игры.
Правила:
Урок состоит из 6 этапов. Каждый этап оценивается определенным количеством баллов. В оценочном листе выставляете баллы за свою работу на всех этапах.
1 этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики –нолики».
2 этап. Практический. Самостоятельная работа. Найти множество всех первообразных.
3 этап. «Ум - хорошо, а 2 - лучше». Работа в тетрадях и 2 ученика на отворотах доски. Найти первообразную функции график которой проходит через точку А).
4.этап. «Исправь ошибки».
5. этап. «Составь слово» Вычисление интегралов.
6. этап. «Спешите видеть». Вычисление площадей фигур,ограниченных линиями.
2. Оценочный лист.
Математическийдиктант
Самостоятельная работа
Устный ответ
Исправь ошибки
Составь слово
Спешите видеть
9баллов
5+1баллов
1балл
5баллов
5баллов
20баллов
3мин.
5мин.
5мин.
6 мин
2. Актуализация знаний:
этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики – нолики»
Если утверждение верно - Х, если неверно-0
Функция F (x ) называется первообразной на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство
Первообразная степенной функции всегда степенная функция
Первообразная сложной функции
Это формула Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции
Первообразная суммы функций = сумме первообразных, рассматриваемых на заданном промежутке
Графики первообразных функций получены параллельным переносом вдоль оси Х на постоянную С.
Произведение числа на функцию равно произведению этого числа на первообразную данной функции.
Множество всех первообразных имеет вид
Всего 9 баллов
3. Закрепление и обобщение
2 этап . Самостоятельная работа.
«Примеры учат лучше, чем теория».
Исаак Ньютон
Найти множество всех первообразных:
1 вариант
Множество всех первообразных Множество всех первообразныхвариант
Самопроверка.
За верно выполненные задания
1 вариант -5 баллов,
за 2 вариант +1 балл
За дополнение 1 балл.
этап . « Ум хорошо, а - 2 лучше».
Работа на отворотах доски двух учеников и все остальные в тетрадях.
Задание
1 вариант. Найти первообразную функции, график, которой проходит через точку А(3;2)
2 вариант. Найти первообразную функции, график которой проходит через начало координат.
Взаимопроверка.
За правильное решение -5 баллов.
этап . Хочешь, верь - хочешь, проверь.
Задание: исправить ошибки, если они допущены.
Найти упражнения с ошибкой:
Этап . Составить слово.
Вычислить интегралы
1 вариант.
вариант.
Ответ: БРАВО
Самопроверка. За верно выполненное задание – 5 баллов.
этап. «Спешите видеть».
Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.
Задание: построить фигуру и вычислить её площадь.
2 балла
2 балла
4 балла
6 балла
6 балла
Проверка индивидуально у учителя.
За верно выполненные все задания - 20 баллов
Подведение итогов:
На уроке рассмотрены основные вопросы
11 класс Орлова Е.В.
«Первообразная и неопределённый интеграл»
СЛАЙД 1
Цели урока:
Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.
Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.
Ожидаемые результаты обучения: ученик должен
определение производной
первообразная определяется неоднозначно.
находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.
Ход урока
Организационный момент СЛАЙД 2
Проверка домашнего задания
Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.
На доске записи:
Производная –производит « на свет новую функцию».
Первообразная – «первичный образ».
4. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении .
Дифференцирование-отыскание производной.
Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.
Знакомство с новыми символами:
5.Устные упражнения: СЛАЙД 3
вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.
выполняется самопроверка учащимися.
корректировка знаний учащихся.
5. Изучение нового материала.
А) Взаимно-обратные операции в математике.
Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении. СЛАЙД 4
Б) Взаимно-обратные операции в физике.
Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике.
Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.
В) Вводится определение первообразной, неопределённого интеграла
СЛАЙД 5, 6
Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.
Г) Таблица первообразных СЛАЙД 7
Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах СЛАЙД
8
Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа.
6.Физминутка СЛАЙД 9
7. Первичное осмысление и применение изученного. СЛАЙД 10
8. Постановка домашнего задания СЛАЙД 11
9. Подведение итогов урока. СЛАЙД 12
В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.
Все понял(а), все успел(а).
частично не понял(а), не все успел(а).
Тема: Первообразная и неопределенный интеграл.
Цель: учащиеся проверят и закрепят знания и умения по теме «Первообразная и неопределенный интеграл».
Задачи:
Образовательная : научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы;
Развивающая : будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций;
Воспитательная : учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
Ожидаемый результат:
Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Тип : урок закрепления
Форма: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.
Методы обучения : частично-поисковый, практический.
Методы познания : анализ, логический, сравнение.
Оборудование: учебник, таблицы.
Оценка учащихся: взаимооценка и самооценка, наблюдение за детьми во
время урока.
Ход урока.
Вызов.
Постановка цели:
Мы с вами умеем строить график квадратичной функции, умеем решать квадратные уравнения и квадратные неравенства, а так же решать системы линейных неравенств.
Как вы думаете, какова будет тема сегодняшнего урока?
Создание хорошего настроения на уроке. (2-3 мин)
Рисуем настроение: Настроение человека прежде всего отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение в виде полоски, облачка, пятнышка (в течение минуты).
Затем листочки передаются по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока листочки не вернутся к своим хозяевам.
После этого обсуждают получившийся рисунок.
I II . Фронтальный опрос учащихся: «Факт или мнение» 17 мин
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Какие из функций
являются первообразными для функции
3. Докажите, что функция является первообразной функции на промежутке (0;∞).
4. Сформулируйте основное свойство первообразной. Как геометрически интерпретируется это свойство?
5. Для функции
найдите первообразную, график которой проходит через точку
. (Ответ:
F
(
x
) =
tgx
+ 2.)
6. Сформулируйте правила нахождения первообразной.
7. Сформулируйте теорему о площади криволинейной трапеции.
8. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
9. В чём заключается геометрический смысл интеграла?
10. Приведите примеры применения интеграла.
11. Обратная связь: «Плюс-минус-интересно»
IV . Индивидуально-парная работа с взаимопроверкой: 10 мин
Решить №5,6,7
V . Практическая работа: решаем в тетради. 10 мин
Решить № 8-10
VI . Итоги урока. Выставление оценок (ОдО, ОО). 2 мин
VII . Домашнее задание: п. 1 № 11,12 1 мин
VIII . Рефлексия: 2 мин
Урок:
Привлёк меня тем…
Показался интересным…
Взволновал…
Заставил задуматься…
Навёл на размышления…
Что на вас произвело наибольшее впечатление?
Пригодятся ли вам знания, приобретённые на этом уроке, в дальнейшей жизни?
Что нового вы узнали на уроке?
Что вы считаете нужным запомнить?
10. Над чем ещё надо поработать
Мною был проведен урок в 11 классе по теме «Первообразная и неопределенный интеграл », это урок закрепления темы .
Задачи, которые предстояло решить во время урока:
научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы; будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций; учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
После проведения урока я ожидала следующий результат :
Учащиеся углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Создать условия для развития практического и творческого мышления. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воспитание чувства уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей через групповое обучение
На своем уроке применяла фронтальную, индивидуальную, парную, групповую работу.
Я планировала это занятие для того, чтобы закрепить с учащимися понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Я считаю, что хорошо получилась работа по созданию постера «Рисуем настроение» в начале урока. Настроение человека, прежде всего, отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: когда на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение (в течение минуты).
Затем ватман поворачивается по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока картинка на ватмане не вернется к своему хозяину. После этого обсуждают получившийся рисунок. Каждый ребенок смог отобразить свое настроение и приступить к работе на уроке.
На следующем этапе урока, применяя метод «Факт или мнение», учащиеся старались доказать, что все понятия по данной теме факт, но никак не их личное мнение. При решении примеров по данной теме происходит обеспечение восприятия, осмысления и запоминания. Формируются целостные системы ведущих знаний по данной теме.
При контроле и самопроверке знаний выявляется качество и уровень овладения знаниями, а так же способами действий, обеспечивается их коррекция.
В структуру урока я включила частично-поисковое задание. Ребята самостоятельно решили задания. Проверили себя в группе. Получили индивидуальную консультацию. Я нахожусь в постоянном поиске новых приемов и методов работы с детьми. В идеальном варианте мне хочется, чтобы каждый ребенок сам планировал свою деятельность на уроке и после него, отвечал на вопросы: хочу я достичь определенных высот или нет, надо мне образование на высоком уровне или нет. На примере этого урока я постаралась показать, что сам ребенок может определить и тему, и ход урока. Что он сам может скорректировать свою деятельность и деятельность учителя таким образом, чтобы урок и дополнительные занятия отвечали его потребностям.
При выборе того или иного вида заданий я учитывала цель занятия, содержание и трудности учебного материала, тип занятия, способы и методы обучения, возрастные и психологические особенности учащихся.
При традиционной системе обучения, когда преподаватель излагает готовые знания, а учащиеся пассивно их усваивают, вопрос о рефлексии обычно не стоит.
Я считаю, что особенно хорошо получилась работа при составлении рефлексии « Что я узнал (а) на уроке…» . Это задание вызвало особенный интерес и помогли понять, как лучше организовать данную работу на следующем уроке.
Считаю, что не получилась самооценка и взаимооценка, учащиеся завышали оценки себе и товарищам.
Анализируя урок, я поняла, что учащиеся хорошо осознали значение формул и их применение при решении и научились использовать различные стратегии на разных этапах урока.
Следующее занятие я хочу провести по стратегии «Шесть шляп» и провести рефлексию «Бабочка», что позволит каждому высказать свое мнение, записать его.
